จั่วไพ่ 5 ใบ เจอเอซอย่างน้อยหนึ่งใบมีโอกาสแค่ไหน?

* รูปภาพใช้เพื่อประกอบเนื้อหาเท่านั้น อาจไม่ใช่ภาพเหตุการณ์จริงหรือภาพจริงจากเรื่องในบทความ

ลองนึกถึงโจทย์ในห้องเรียน: สับไพ่คว่ำหน้าแล้วหยิบมา 5 ใบ โดยไม่เอากลับเข้ากองระหว่างหยิบ

ถ้าใช้สำรับมาตรฐาน 52 ใบแล้วหยิบ 5 ใบโดยไม่ใส่คืน โอกาสได้เอซอย่างน้อยหนึ่งใบอยู่ที่ประมาณ 34.1% หรือราวหนึ่งในสามของมือไพ่ทั้งหมด

โจทย์นี้สมมติว่าสำรับมีไพ่ 52 ใบ ไม่มีโจ๊กเกอร์ และมีเอซ 4 ใบ ใบละหนึ่งดอก ไพ่ถูกสับอย่างทั่วถึง แล้วหยิบโดยไม่ใส่คืน ตัวเลขจึงใช้กับเงื่อนไขนี้ ไม่ใช่สำรับที่เพิ่มหรือตัดไพ่

วิธีนับที่ง่ายคือหากลุ่มที่ไม่มีเอซเลยก่อน เพราะมีไพ่ไม่ใช่เอซ 48 ใบ เมื่อหยิบ 5 ใบจากกองนี้จะได้จำนวนมือที่ไม่มีเอซ จากนั้นนำไปลบออกจากจำนวนมือไพ่ห้าใบทั้งหมด

• มือไพ่ 5 ใบจากสำรับ 52 ใบมีทั้งหมด 2,598,960 แบบ

• มือที่ไม่มีเอซ เลือกทั้ง 5 ใบจากไพ่ไม่ใช่เอซ 48 ใบ มี 1,712,304 แบบ

• มือที่มีเอซอย่างน้อยหนึ่งใบจึงเหลือ 886,656 แบบ หรือ 886,656 จาก 2,598,960 คิดเป็นประมาณ 34.1%

การนับนี้ใช้การจัดหมู่ ไม่สนว่าไพ่ใบไหนออกก่อนหรือหลัง เพราะไพ่ 5 ใบชุดเดียวกันก็นับเป็นมือเดียวกัน คู่มือคณิตศาสตร์เปิดของ Community College of Denver อธิบายว่าการเลือกแบบนี้เรียกว่า combination และยกสำรับมาตรฐาน 52 ใบ ซึ่งมี 4 ดอก ดอกละ 13 ใบ เป็นตัวอย่างไว้ด้วย

คำว่า “อย่างน้อยหนึ่งใบ” รวมทั้งมือที่มีเอซใบเดียวและมือที่มีเอซหลายใบ วิธีนับกลุ่มที่ไม่มีเอซแล้วลบออกจึงนับทุกกรณีที่ต้องการได้โดยไม่ต้องแยกกรณีว่าได้เอซกี่ใบ

34.1% เป็นโอกาสของมือหนึ่งภายใต้การสับและการหยิบตามสมมติฐาน ไม่ได้แปลว่าทุกสามมือจะต้องมีเอซหนึ่งมือพอดี หากจำลองหลายมือ จำนวนที่พบจริงย่อมแกว่งรอบค่าคาดหมายได้ และเลขนี้ไม่ได้บอกว่าไพ่ใบถัดไปจะเป็นอะไร

ถ้าโจทย์เปลี่ยนจำนวนไพ่หรือจำนวนใบที่หยิบ ก็ต้องนับกลุ่มใหม่ หลักที่ใช้ได้กับข้อนี้คือเริ่มจากกรณีตรงข้ามที่นับง่าย แล้ว ลบสัดส่วนนั้นออกจาก 100%

ขอบคุณภาพประกอบจาก https://graphic.in.th