คน 23 คนอยู่ในห้องเดียวกัน มีโอกาสวันเกิดซ้ำเกินครึ่งจริงไหม?

* รูปภาพใช้เพื่อประกอบเนื้อหาเท่านั้น อาจไม่ใช่ภาพเหตุการณ์จริงหรือภาพจริงจากเรื่องในบทความ

คน 23 คนอยู่ในห้องเดียวกัน มีโอกาสประมาณ 50.7% ที่อย่างน้อยสองคนจะเกิดวันเดียวกัน ภายใต้แบบจำลองที่มี 365 วัน วันเกิดกระจายสม่ำเสมอ และแต่ละคนเป็นอิสระต่อกัน ตัวเลขนี้มาจากการถามว่า “มีใครในกลุ่มวันเกิดตรงกันไหม” ไม่ใช่โอกาสที่ใครสักคนจะเกิดตรงกับวันที่เราระบุไว้ล่วงหน้า

ลองนึกภาพว่ามีคนทยอยเข้าห้อง คนแรกเกิดวันไหนก็ได้ เมื่อคนที่สองเข้ามา เขาต้องไม่ซ้ำกับวันเกิดแรก ซึ่งมีวันที่เหลือ 364 วันจาก 365 วัน คนที่สามต้องไม่ซ้ำสองคนก่อน จึงเหลือ 363 วันให้เลือก พอคนในห้องเพิ่มขึ้น จำนวนวันที่ใช้ไปแล้วก็เพิ่มตาม โอกาสชนกันจึงโตเร็วขึ้น

คำนวณจากทางกลับ: หาความน่าจะเป็นที่ทุกคนเกิดคนละวันก่อน แล้วนำไปลบออกจาก 100% สำหรับ 23 คน โอกาสไม่ซ้ำกันคือ (365/365) × (364/365) × (363/365) ไล่ลงไปจนถึง (343/365) ได้ประมาณ 49.27% ดังนั้นโอกาสที่มีวันเกิดซ้ำอย่างน้อยหนึ่งคู่คือ 100% − 49.27% = 50.73%

Wolfram MathWorld อธิบายโจทย์นี้ด้วยสมมติฐานว่าทุกวันมีโอกาสเป็นวันเกิดเท่ากัน และถือว่าวันเกิดของแต่ละคนเป็นอิสระกัน โดยใช้ปี 365 วันและไม่นับวันอธิกสุรทิน ผลคำนวณระบุว่า 23 คนเป็นจำนวนต่ำสุดที่ทำให้โอกาสเกิดคู่วันเกิดซ้ำแตะอย่างน้อย 50% ตัวเลข 50.73% จึงเป็นคำตอบของแบบจำลองนี้ ไม่ใช่การสำรวจห้องเรียนจริงทุกแห่ง

ลองเทียบขนาดกลุ่มภายใต้สูตรเดียวกัน:

• 10 คน — โอกาสซ้ำประมาณ 11.69%

• 20 คน — ประมาณ 41.14%

• 23 คน — ประมาณ 50.73%

• 30 คน — ประมาณ 70.63%

ในห้อง 30 คนจึงมีโอกาสเจอวันเกิดตรงกันมากกว่าสองในสาม แม้จะมีวันให้เลือกตั้ง 365 วัน เพราะเราไม่ได้เทียบวันเกิดของทุกคนกับคนเดียว แต่เปิดโอกาสให้ทุกคู่ในกลุ่มตรงกันได้

วันเกิดจริงไม่ได้กระจายเท่ากันทุกวัน MathWorld ระบุว่า ข้อมูลสหรัฐฯ ที่หน้าอ้างถึงมีจำนวนคนเกิดในเดือนกันยายนสูงกว่าค่าเฉลี่ยมากกว่า 6% (อ้าง Peterson, 1998) ข้อมูลนี้แสดงว่าความถี่แต่ละวันไม่ตรงกับสมมติฐานที่ทุกวันมีโอกาสเท่ากัน ค่า 50.73% จึงเป็นผลจากแบบจำลองปี 365 วัน ไม่ใช่ผลสำรวจห้องเรียนจริง

สรุปสั้น ๆ: 23 คนไม่ได้ทำให้วันเกิดวันใดวันหนึ่งมีโอกาสพิเศษขึ้น แต่ทำให้มีคู่ให้เปรียบเทียบมากพอจนโอกาสพบวันซ้ำผ่านครึ่งหนึ่ง

ขอบคุณภาพประกอบจาก https://graphic.in.th