0.999... ไม่ได้ใกล้ 1 แต่เท่ากับ 1 จริงหรือ?

* รูปภาพใช้เพื่อประกอบเนื้อหาเท่านั้น อาจไม่ใช่ภาพเหตุการณ์จริงหรือภาพจริงจากเรื่องในบทความ

ทศนิยม 0.999... มีค่าเท่ากับ 1 พอดี ไม่ได้เป็นแค่ตัวเลขที่วิ่งเข้าใกล้แล้วหยุดก่อนถึง คำตอบนี้ฟังสวนกับภาพที่คุ้นตา เพราะ 0.9, 0.99 และ 0.999 ต่างยังน้อยกว่า 1 ทุกตัว แต่เครื่องหมายจุดสามจุดทำให้ 0.999... หมายถึงเลข 9 ที่ต่อไปไม่สิ้นสุด

ลองเขียนจำนวนที่มีเลข 9 เพิ่มทีละหลัก จะเห็นช่องว่างจาก 1 ลดลงเรื่อย ๆ: 0.9 ขาด 0.1, 0.99 ขาด 0.01 และ 0.999 ขาด 0.001 แต่สามจำนวนนี้เป็นทศนิยมที่จบแล้ว ส่วน 0.999... ไม่มีหลักสุดท้ายให้หยุดนับ เมื่อเขียน 0.999... เรากำลังพูดถึงทศนิยมที่เลข 9 ต่อไปเรื่อย ๆ ทุกหลักมีส่วนกำหนดค่า จึงไม่ใช่การหยิบ 0.999 ที่เขียนจบแล้วมาตอบแทน

หน้า Math Fun Facts ของ Harvey Mudd College อธิบายว่าทศนิยมแทนผลบวกของค่าประจำหลักได้ เลขหลังจุดแต่ละหลักจึงมีค่าน้อยลงตามกำลังของ 10 เมื่อนำแนวคิดนี้มาใช้กับ 0.999... จะได้ผลบวก 9/10 + 9/100 + 9/1,000 ต่อไปไม่สิ้นสุด ซึ่งเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีผลรวมเท่ากับ 1

จะเห็นผลเดียวกันจากการตั้งสมการง่าย ๆ สมมติให้ x = 0.999... เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย 10 จะได้ 10x = 9.999... จากนั้นลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง เลข 9 หลังจุดที่ซ้ำกันจะตรงกันทุกหลัก จึงเหลือ 9x = 9 และได้ x = 1 วิธีนี้ใช้เครื่องหมายจุดสามจุดในความหมายว่าเลข 9 ต่อไปไม่จบ หากเขียนเพียง 0.999 แล้วตัดจบ ผลจะยังน้อยกว่า 1

ทศนิยมที่ลงท้ายด้วยเลข 9 ซ้ำยังใช้เขียนเศษส่วนที่ลงท้ายด้วยศูนย์ได้ด้วย Harvey Mudd College ยกตัวอย่างว่า 7/20 เขียนได้ทั้ง 0.35 และ 0.34999... เพราะส่วนท้าย 0.00999... มีค่าเท่ากับ 0.01 พอดี

เวลาอ่านทศนิยมที่มีจุดสามจุด ให้แยกให้ออกว่ามันบอกเลขที่ต่อเนื่องไม่สิ้นสุด หรือแค่ละไว้ในข้อความทั่วไป สำหรับ 0.999... ในโจทย์นี้ จุดสามจุดหมายถึงเลข 9 ซ้ำไม่รู้จบ และค่าที่แทนคือ 1 พอดี

ขอบคุณภาพประกอบจาก https://graphic.in.th