ทอยลูกเต๋า 6 ครั้ง มีโอกาสครบทุกหน้าแค่ 1.5% จริงไหม?

* รูปภาพใช้เพื่อประกอบเนื้อหาเท่านั้น อาจไม่ใช่ภาพเหตุการณ์จริงหรือภาพจริงจากเรื่องในบทความ

ถ้าทอยลูกเต๋ามาตรฐาน 6 หน้า 6 ครั้ง โอกาสเห็นเลข 1 ถึง 6 ครบทุกหน้ามีเพียงประมาณ 1.54% หรือราว 1 ใน 65 ชุด ส่วนอีก 98.46% ของชุดจะขาดอย่างน้อยหนึ่งหน้าเพราะมีผลซ้ำ

ลองแยกเงื่อนไขทีละรอบ: ครั้งแรกออกหน้าใดก็ได้ แต่รอบต่อไปต้องออกหน้าที่ยังไม่เคยปรากฏ จึงจะครบทั้งหกหน้า

• ครั้งที่ 1: ออกหน้าใดก็ได้ โอกาส 6 ใน 6

• ครั้งที่ 2: ต้องไม่ซ้ำครั้งแรก เหลือ 5 ใน 6 หน้า

• ครั้งที่ 3: ต้องเป็นหน้าที่ยังไม่ออก เหลือ 4 ใน 6

• ครั้งที่ 4: เหลือ 3 ใน 6

• ครั้งที่ 5: เหลือ 2 ใน 6

• ครั้งที่ 6: ต้องเป็นหน้าสุดท้ายที่ยังขาด เหลือ 1 ใน 6

นำโอกาสแต่ละครั้งมาคูณกัน จะได้ 1 × 5/6 × 4/6 × 3/6 × 2/6 × 1/6 หรือ 720 ใน 46,656 ลำดับ คิดเป็น 1.54% โดยประมาณ ตัวเลข 720 มาจากการเรียงเลขทั้งหกหน้าได้ 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 แบบ ส่วนผลทอยทั้งหมดมี 6 ยกกำลัง 6 แบบ เพราะแต่ละครั้งออกได้หกหน้า

ถ้าถามว่าต้องทอยกี่ครั้งจึงจะเห็นครบทุกหน้าโดยเฉลี่ย คำตอบไม่ใช่ 6 ครั้ง แต่ประมาณ 14.7 ครั้ง แนวคิดคือเมื่อเก็บได้หลายหน้าแล้ว หน้าใหม่จะหายากขึ้น: ตอนขาดอยู่หนึ่งหน้า โอกาสได้หน้าที่ขาดในแต่ละครั้งมีเพียง 1 ใน 6 จึงต้องรอเฉลี่ย 6 ครั้งกว่าจะได้หน้านั้นเพิ่ม

เอกสารวิชา 6.042J ของ MIT ใช้โจทย์เดียวกันและคำนวณจำนวนครั้งเฉลี่ยที่ต้องทอยเพื่อเห็นหน้าลูกเต๋าครบ 1 ถึง 6 ได้ประมาณ 14.7 ครั้ง คำว่า “เฉลี่ย” หมายถึงผลระยะยาวจากการทำซ้ำหลายชุด ไม่ได้แปลว่าทุกคนจะครบที่ครั้งที่ 15 บางชุดครบเร็วกว่านั้น บางชุดใช้เวลานานกว่า

การคำนวณนี้อธิบายกรณีลูกเต๋ายุติธรรมที่ทุกหน้ามีโอกาส 1 ใน 6 และผลแต่ละครั้งเป็นอิสระ ไม่ได้ใช้ทดสอบลูกเต๋าลูกจริงว่ามีหน้าใดได้เปรียบหรือไม่ ผลซ้ำในหกครั้งเป็นเหตุการณ์ปกติที่เกิดขึ้นได้ตามแบบจำลองนี้

ขอบคุณภาพประกอบจาก https://graphic.in.th