โอกาส 1 ในล้านหมายถึงครบล้านครั้งต้องถูกสักครั้งไหม

* รูปภาพใช้เพื่อประกอบเนื้อหาเท่านั้น อาจไม่ใช่ภาพเหตุการณ์จริงหรือภาพจริงจากเรื่องในบทความ

พอเห็นตัวเลข “หนึ่งในล้าน” หลายคนจะนึกภาพเหมือนมีคิวรออยู่ข้างหน้า: ถ้ายังไม่เกิด ก็แค่ลองไปเรื่อย ๆ จนครบจำนวนแล้วต้องมีสักครั้ง แต่ตัวเลขโอกาสไม่ได้ทำงานเหมือนบัตรคิว และการนับรอบที่ผ่านไปไม่ได้พาเราเข้าใกล้เส้นชัยโดยอัตโนมัติ

ตัวอย่างใกล้ตัวคือสลากกินแบ่งรัฐบาลหกหลัก คู่มือสำนักงานสลากกินแบ่งรัฐบาลระบุว่าสลากหนึ่งชุดมีหนึ่งล้านฉบับ และถ้าจำหน่ายหมด รางวัลที่หนึ่งมีหนึ่งรางวัลต่อชุด ตัวเลขนี้ช่วยให้เห็นขนาดของชุดรางวัล แต่ต้องแยก “โอกาสในหนึ่งครั้ง” ออกจาก “สิ่งที่รับประกันว่าจะเกิดในระยะยาว”

ไม่จำเป็นต้องถูกครบหนึ่งล้านครั้ง ถ้ากำหนดว่าหมายเลขหนึ่งมีโอกาสเท่ากับ 1 ใน 1,000,000 ต่อการออกรางวัลหนึ่งครั้ง นั่นคือความน่าจะเป็นของแต่ละรอบ ไม่ใช่กำหนดเวลาว่าความสำเร็จจะต้องมาถึงเมื่อไร

ลองเปลี่ยนภาพจากหวยเป็นการสุ่มที่เข้าใจง่าย: ทุกครั้งมีช่องผลลัพธ์หนึ่งล้านช่อง และมีหนึ่งช่องที่ตรงกับสิ่งที่เรากำลังติดตาม หากทำการทดลองแบบเดิมซ้ำหลายครั้งโดยผลแต่ละครั้งไม่เปลี่ยนโอกาสของครั้งถัดไป ความน่าจะเป็นรวมคำนวณจากจำนวนครั้งกับโอกาสต่อครั้งได้

เมื่อทดลองหนึ่งล้านรอบ โอกาสคาดหวังของผลที่ตรงกันคือประมาณหนึ่งครั้ง เพราะค่าเฉลี่ยเท่ากับจำนวนรอบคูณโอกาสต่อรอบ แต่ค่าเฉลี่ยเป็นภาพรวมของการทดลองจำนวนมาก ไม่ได้บอกว่าทุกชุดหนึ่งล้านรอบจะต้องเห็นผลตรงกันหนึ่งครั้งพอดี บางชุดอาจไม่เจอเลย บางชุดอาจเจอซ้ำ

คำนวณโอกาสไม่เจอเลยได้จากการคูณโอกาสพลาดในแต่ละรอบเข้าด้วยกัน: (1 − 1/1,000,000) ยกกำลัง 1,000,000 ผลอยู่ใกล้ 36.8% ดังนั้นโอกาสเจออย่างน้อยหนึ่งครั้งอยู่ราว 63.2% ยังมีทางที่ครบล้านรอบแล้วไม่เจอได้ แม้จะตั้งต้นจากโอกาสหนึ่งในล้าน

สถิติศาสตร์เรียกกรณีที่แต่ละรอบมีผลสำเร็จหรือไม่สำเร็จสองแบบ และมีโอกาสเท่าเดิมว่าแบบจำลองทวินาม ค่าเฉลี่ยคาดหวังใช้จำนวนรอบคูณความน่าจะเป็นต่อรอบ สูตรนี้อธิบายจำนวนผลที่คาดเฉลี่ยในระยะยาว ส่วนการคำนวณโอกาสพลาดทุกครั้งใช้ความน่าจะเป็นของการพลาดยกกำลังจำนวนรอบ

เงื่อนไขสำคัญคือแต่ละรอบต้องเป็นอิสระและมีโอกาสเดียวกัน ถ้ารอบก่อนพลาด ไม่ได้ทำให้รอบถัดไป “ถึงคิว” มากขึ้น และถ้าผลหนึ่งออกซ้ำหรือไม่ออกมานาน ก็ไม่ได้เปลี่ยนโอกาสของงวดใหม่ในแบบจำลองนี้ การเอาผลย้อนหลังมาบอกว่าครั้งหน้าต้องออกเลขใดจึงไม่มีหลักจากคณิตศาสตร์ชุดนี้

อีกอย่างคือ “หนึ่งในล้าน” ต้องระบุว่ากำลังพูดถึงอะไร คู่มือ ก.สลากแยกการจ่ายรางวัลหลายประเภทไว้ ทั้งรางวัลที่หนึ่ง เลขหน้าและท้ายสามตัว เลขท้ายสองตัว และรางวัลอื่น ๆ โอกาสของรางวัลใดรางวัลหนึ่งจึงไม่ใช่ตัวเลขเดียวกับโอกาสถูกรางวัลที่หนึ่ง คำถามเรื่องโอกาสควรผูกกับประเภทผลลัพธ์และจำนวนครั้งให้ชัดก่อนคำนวณ