ทำไมจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ยกกำลัง 0 จึงได้ 1?

* รูปภาพใช้เพื่อประกอบเนื้อหาเท่านั้น อาจไม่ใช่ภาพเหตุการณ์จริงหรือภาพจริงจากเรื่องในบทความ

เลข 5^0 มีค่าเท่ากับ 1 ไม่ใช่ 0 เพราะเมื่อเราลดเลขชี้กำลังลงทีละหนึ่ง ค่าของกำลังจะถูกหารด้วยฐานหนึ่งครั้ง พอจาก 5^1 ลดลงมาเป็น 5^0 จึงคำนวณต่อจาก 5 ÷ 5 ได้ 1 พอดี

ลองไล่กำลังของเลข 5 จากมากลงมาทีละขั้น:

• 5^3 = 125

• 5^2 = 25

• 5^1 = 5

• 5^0 = 1

จาก 5^3 ไป 5^2 คือหารด้วย 5; จาก 5^2 ไป 5^1 ก็หารด้วย 5 อีกครั้ง ดังนั้นขั้นถัดไปต้องหาร 5^1 ด้วย 5 เช่นกัน คำตอบจึงเป็น 1 การไล่แบบนี้ทำให้เห็นว่าเลขชี้กำลัง 0 เกิดจากการลดกำลังตามกฎเดิม ไม่ได้หมายถึงให้แทนค่าฐานด้วยเลขศูนย์

ถ้าลดต่อจาก 5^0 อีกหนึ่งขั้น ก็หารด้วย 5 ได้ 1/5 หรือ 5^-1 แบบแผนจึงเดินต่อหลังเลขชี้กำลังผ่านศูนย์ไป ไม่ได้หยุดอยู่ที่เลข 0

เหตุผลเดียวกันใช้กับฐานอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ เช่น 3^1 = 3 แล้วลดกำลังลงหนึ่งขั้นโดยหารด้วย 3 จะได้ 3^0 = 1 การอธิบายแบบนี้ไม่ได้ตั้งกฎพิเศษขึ้นมาเฉพาะเลข 5 แต่ต่อเนื่องมาจากวิธีคำนวณเลขยกกำลังที่ใช้กันอยู่

อีกทางหนึ่ง เขียนเป็นการหารจำนวนเดียวกันด้วยตัวมันเอง: 5^3 ÷ 5^3 = 1 เพราะจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์หารตัวเองได้ 1 แต่กฎหารเลขยกกำลังให้ผลเดียวกันเป็น 5^(3−3) หรือ 5^0 ทั้งสองวิธีจึงบอกว่า 5^0 ต้องเท่ากับ 1 หากกฎการหารเลขยกกำลังยังใช้ต่อเนื่อง

OpenStax อธิบายในหนังสือ Algebra 1 ว่า ถ้า a ไม่เท่ากับศูนย์ จะได้ a^0 = 1 และยกกรณี a^m ÷ a^m เพื่อเชื่อมกฎเลขชี้กำลังกับการหารจำนวนเดียวกันด้วยตัวมันเอง เงื่อนไข “ฐานไม่เป็นศูนย์” สำคัญ เพราะการหารด้วยศูนย์ทำไม่ได้ จึงนำวิธีนี้ไปใช้กับ 0^0 ไม่ได้

จำง่าย ๆ ว่าเลขชี้กำลังบอกการคูณซ้ำ ส่วนเลขชี้กำลังศูนย์ทำให้ผลคูณลดลงมาจนเหลือ 1 สำหรับฐานที่ไม่เป็นศูนย์ ส่วนกรณีฐานเป็นศูนย์ต้องพิจารณาแยก ไม่ควรเอากฎนี้ไปใช้ต่อโดยอัตโนมัติ

ขอบคุณภาพประกอบจาก https://graphic.in.th