โจทย์คณิตที่ยากที่สุด ที่มนุษย์ยังคงพยายามหาคำตอบอยู่

Millennium Prize Problems
หรือ ปัญหารางวัลมิลเลนเนียม

คือ 7 โจทย์คณิตศาสตร์ระดับลึก ที่สถาบัน Clay Mathematics Institute (CMI)
ประกาศในปี 2000 ตั้งรางวัลข้อละ 1 ล้านดอลลาร์สหรัฐฯ
เพื่อท้าทายนักคณิตศาสตร์ทั่วโลกให้หาคำพิสูจน์ที่ถูกต้องตามมาตรฐานวิชาการ
ปัจจุบันมีเพียง 1 ข้อที่ถือว่าแก้สำเร็จแล้ว (ปัญหาปวงกาเร) ส่วนที่เหลือยังเปิดอยู่

1) P vs NP
ถามว่า “ปัญหาที่ตรวจคำตอบได้เร็ว (NP) จะมีวิธี ‘หาคำตอบ’
ได้เร็วพอๆ กันหรือไม่ (P)?” ถ้า P = NP จะสะเทือนทั้งวิทยาการคอมพิวเตอร์
และความปลอดภัยไซเบอร์ เพราะงานยากหลายอย่างอาจแก้ได้เร็วขึ้น
อย่างคาดไม่ถึง ปัจจุบันยังไม่รู้คำตอบ

2) Hodge Conjecture
เป็นปัญหาในเรขาคณิตพีชคณิตที่พยายามเชื่อม “ข้อมูลเชิงทอพอโลยี”
กับ “วัตถุที่นิยามด้วยสมการพีชคณิต” พูดง่ายๆ คือ
ถามว่าโครงสร้างสำคัญบางชนิดบนปริพันธ์เชิงซ้อน สามารถอธิบายได้ด้วยปริพันธ์ย่อย
ที่มาจากสมการหรือไม่ ยังพิสูจน์ได้เพียงบางกรณี แต่ภาพรวมยังไม่สำเร็จ

3) Poincaré Conjecture (แก้แล้ว)
ถามว่า “ถ้าวัตถุ 3 มิติที่ปิดและไม่มีรู มีคุณสมบัติพื้นฐานเหมือนทรงกลม
มันต้องเป็นทรงกลมจริงหรือไม่?” กริกอรี เปเรลมานเสนอแนวทางพิสูจน์
ช่วงปี 2002–2003 และวงการยอมรับว่าแก้สำเร็จแล้ว (เป็นข้อเดียวใน 7 ข้อที่ปิดได้)

4) Riemann Hypothesis
เกี่ยวกับตำแหน่งของ “ศูนย์” ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์
ซึ่งผูกกับรูปแบบการกระจายของจำนวนเฉพาะ (prime numbers)
หากพิสูจน์ได้จะทำให้เราเข้าใจ “ความเป็นระเบียบ” ของจำนวนเฉพาะได้ลึกมากขึ้น
ปัจจุบันยังเป็นสมมติฐานที่สำคัญที่สุดข้อหนึ่งในทฤษฎีจำนวน

5) Yang–Mills Existence and Mass Gap
มาจากฟิสิกส์ทฤษฎีสนาม ถามว่าเราสามารถนิยามทฤษฎี Yang–Mills
ในแบบคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดได้หรือไม่ และเหตุใดจึงเกิด “ช่องว่างมวล (mass gap)”
ที่ทำให้อนุภาคพาหะแรงมีพฤติกรรมเหมือนมีมวลในระบบควอนตัม
เป็นปัญหาที่เชื่อมคณิตศาสตร์กับฟิสิกส์อย่างลึกซึ้งและยังไม่ถูกพิสูจน์

6) Navier–Stokes Existence and Smoothness
ถามว่าใน 3 มิติ สมการนาวิเออร์–สโตกส์ที่ใช้อธิบายการไหลของของไหล
จะมีคำตอบที่ “มีอยู่ตลอดเวลา” และ “เรียบเนียนไม่เกิดจุดระเบิดเป็นอนันต์”
ได้เสมอหรือไม่ ถ้าพิสูจน์ได้ จะยกระดับความเข้าใจเรื่องความปั่นป่วน (turbulence)
และรากฐานการคำนวณของไหล ปัจจุบันยังไม่รู้ผลทั่วไป

7) Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture (BSD)
อยู่ในทฤษฎีจำนวนและเส้นโค้งวงรี (elliptic curves) ถามความสัมพันธ์ระหว่าง
“จำนวนคำตอบเชิงตรรกยะ” บนเส้นโค้งวงรี กับพฤติกรรมของ L-function ที่จุดสำคัญ
ถ้าพิสูจน์ได้ จะเป็นกุญแจสำคัญในการเข้าใจโครงสร้างคำตอบของสมการจำนวนมาก
และมีผลต่อหัวใจของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ปัจจุบันยังไม่สำเร็จ