สุ่มเลข 1–100 แค่ 10 ครั้ง มีโอกาสชนเลขซ้ำกี่เปอร์เซ็นต์?

* รูปภาพใช้เพื่อประกอบเนื้อหาเท่านั้น อาจไม่ใช่ภาพเหตุการณ์จริงหรือภาพจริงจากเรื่องในบทความ

ถ้าสุ่มเลข 1–100 แบบใส่คืนสิบครั้ง และเลขทุกตัวมีโอกาสเท่ากัน โอกาสเจอเลขซ้ำอย่างน้อยหนึ่งคู่คือประมาณ 37.18% หรือเกือบ 4 ใน 10 ชุด โอกาสรวมเพิ่มขึ้นเพราะผลแต่ละครั้งมีโอกาสชนกับเลขทุกตัวที่ออกมาก่อน ไม่ได้เทียบแค่ผลครั้งสุดท้ายกับครั้งก่อนหน้าอย่างเดียว

คิดแบบกลับด้านจะง่ายกว่า: หาความน่าจะเป็นที่ทั้งสิบครั้งออกไม่ซ้ำกันก่อน แล้วนำไปลบออกจาก 100% การสุ่มครั้งแรกออกอะไรก็ได้ แต่ครั้งถัดไปต้องเป็นเลขที่ยังไม่เคยออก

• ครั้งที่ 1: เลือกได้ 100 เลขจาก 100 เลข จึงไม่เกิดเลขซ้ำ

• ครั้งที่ 2: ต้องหลบเลขเดิม 1 เลข เหลือโอกาสไม่ซ้ำ 99 ใน 100

• ครั้งที่ 3: ถ้าสองครั้งแรกไม่ซ้ำ ต้องหลบเลขที่ออกไปแล้ว 2 เลข เหลือ 98 ใน 100

• ครั้งที่ 10: หากเก้าครั้งแรกยังไม่ซ้ำ ต้องหลบเลขเดิม 9 เลข เหลือ 91 ใน 100

นำโอกาสที่ไม่ซ้ำในแต่ละรอบมาคูณกัน จะได้ (100/100) × (99/100) × (98/100) ไล่ต่อไปจนถึง (91/100) ผลคือประมาณ 62.82% ที่สิบครั้งจะไม่ซ้ำเลย ส่วนโอกาสมีเลขซ้ำอย่างน้อยหนึ่งคู่จึงเป็น 1 − 62.82% หรือประมาณ 37.18%

สูตรนี้เป็นกรณีเดียวกับโจทย์ “วันเกิดซ้ำ” ที่ Wolfram MathWorld อธิบายไว้ โดยกำหนดให้ผลแต่ละครั้งเป็นอิสระและทุกตัวเลือกมีโอกาสเท่ากัน นำสูตรนี้มาใช้กับการสุ่มเลข 1–100 จำนวน 10 ครั้ง ตัวเลข 37.18% จึงเป็นผลคำนวณของแบบจำลองนี้ ไม่ใช่สถิติการออกผลจริงของหวยหรือการสุ่มจากระบบใดระบบหนึ่ง

เทียบจำนวนครั้งให้เห็นภาพ เมื่อสุ่ม 5 ครั้ง โอกาสชนเลขซ้ำอยู่ที่ประมาณ 9.65%; สุ่ม 10 ครั้งเป็น 37.18%; และสุ่ม 20 ครั้งเพิ่มเป็น 86.96% ยิ่งมีผลสะสมมาก จำนวนคู่ที่อาจชนกันก็เพิ่มขึ้นเร็ว แม้เลขแต่ละตัวจะยังมีโอกาสเท่ากันทุกครั้ง

ประเด็นนี้ไม่ได้แปลว่าครั้งต่อไปมีเลขใด “ใกล้ออก” กว่าเดิม ถ้าการสุ่มแต่ละครั้งเป็นอิสระ เลข 1–100 ยังมีโอกาสเท่ากันทุกครั้ง สิ่งที่เพิ่มคือโอกาสพบเลขซ้ำในชุดผลทั้งหมด เพราะมีผลเก่าให้ชนมากขึ้น

ขอบเขตของคำตอบอยู่ที่เงื่อนไขสองข้อ: สุ่มแบบใส่คืน และเลขทั้ง 100 ตัวมีโอกาสเท่ากัน ถ้าสุ่มหยิบโดยไม่ใส่คืน เลขเดิมจะไม่กลับมาให้ซ้ำ; ถ้าระบบให้น้ำหนักบางเลขมากกว่า สูตรก็ต้องเปลี่ยนตามนั้น

ขอบคุณภาพประกอบจาก https://graphic.in.th