ทำไม LEGO 2x4 เพียง 6 ก้อนจึงสร้างแบบต่อได้มหาศาล

* รูปภาพใช้เพื่อประกอบเนื้อหาเท่านั้น อาจไม่ใช่ภาพเหตุการณ์จริงหรือภาพจริงจากเรื่องในบทความ ขอบคุณภาพประกอบจาก https://graphic.in.th

วางอิฐ LEGO สีแดงทรง 2x4 ลงบนโต๊ะ หกก้อนดูเหมือนวัสดุชุดเล็กที่น่าจะต่อได้ไม่กี่แบบ แต่อิฐแต่ละก้อนมีปุ่มด้านบน 8 ปุ่ม และตำแหน่งการยึดเพียงเลื่อนหรือเปลี่ยนแนว ก็ทำให้โครงสร้างแตกแขนงไปได้อีกมาก

เมื่อใช้อิฐขนาดเดียวกัน สีเดียวกัน จำนวน 6 ก้อน และนับรูปแบบการต่อที่วางอยู่บนแนวตารางมุมฉาก ตัวเลขที่ได้คือ 915,103,765 รูปแบบ หรือราว 915 ล้านแบบ ตัวเลขนี้เป็นการนับโครงสร้างที่แตกต่างกัน ไม่ใช่การนับสีหรือการหมุนของชิ้นงานทั้งก้อนซ้ำอีกครั้ง

หกก้อนเดิม แต่โครงสร้างเปลี่ยนได้

ความซับซ้อนเริ่มขึ้นตั้งแต่อิฐก้อนที่สอง มันอาจวางตรงกลาง วางเหลื่อมไปด้านข้าง ต่อขวาง ต่อเป็นชั้น หรือยึดกับปุ่มเพียงบางส่วนของก้อนเดิม พอเพิ่มก้อนที่สาม สี่ ห้า และหก ตัวเลือกก็เพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ

โครงสร้างจากอิฐชุดเดียวกันจึงอาจกลายเป็นเสาสั้น ผนัง ขั้นบันได สะพาน หรือรูปทรงที่มีส่วนยื่นออกมาได้ การมองด้วยตาเปล่าอาจเห็นเพียงพลาสติกสีแดงเหมือนกัน 6 ก้อน แต่คณิตศาสตร์มองเห็นตำแหน่งการเชื่อมต่อที่แตกต่างกันหลายร้อยล้านทาง

ตัวเลข 915 ล้านมาจากการคำนวณอย่างไร

ตัวเลขชุดแรกที่เคยเผยแพร่ในปี 1974 อยู่ที่ 102,981,500 แบบ การนับครั้งนั้นพิจารณาเฉพาะการต่ออิฐขึ้นด้านบนจนเป็นเสาสูง 6 ก้อน จึงยังไม่ได้รวมรูปแบบที่ต่อขยายออกไปด้านข้าง

ต่อมา Sren Eilers ศาสตราจารย์คณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยโคเปนเฮเกนกลับมาตรวจโจทย์นี้ใหม่ เขาเขียนโปรแกรมภาษา Java เพื่อไล่ตรวจรูปแบบที่เป็นไปได้ คอมพิวเตอร์ที่บ้านทำงานอยู่ประมาณหนึ่งสัปดาห์ ก่อนให้ผลลัพธ์เป็น 915,103,765 แบบ นักเรียนมัธยมอีกคนยังนำโจทย์ไปคำนวณซ้ำและได้ตัวเลขตรงกัน

LEGO Group ใช้ตัวเลขกลมๆ ว่าอิฐ 2x4 สีเดียวกัน 6 ก้อนต่อรวมกันได้มากกว่า 915 ล้านแบบ ขณะที่เอกสารของ Eilers แสดงที่มาของตัวเลขละเอียดกว่า ทั้งประวัติของจำนวนเดิม วิธีเพิ่มรูปแบบการต่อด้านข้าง และเหตุผลที่ต้องใช้คอมพิวเตอร์ช่วยตรวจสอบ

915 ล้านแบบ ไม่ได้แปลว่าบิดได้ทุกองศา

จุดที่มักเล่าคลาดเคลื่อนอยู่ตรงการบอกว่าอิฐทั้งหกก้อนสามารถหันมุมได้ทุกองศาแล้วนับรวมเป็นเลขเดียวกัน ความจริงคือเลข 915,103,765 ใช้เงื่อนไขการวางในแนวตารางและมุมฉากเป็นหลัก

ถ้าอนุญาตให้อิฐแตะกันตรงมุมแล้วหมุนต่อเนื่อง ทุกองศาจะกลายเป็นตำแหน่งใหม่ งานศึกษาด้านการนับโมเดล LEGO จึงแยกกรณีมุมอิสระออกจากตัวเลขมาตรฐาน เพราะภายใต้นิยามนั้นจำนวนรูปแบบจะไม่จำกัดอยู่ที่ 915 ล้าน

ดังนั้น ตัวเลขที่ถูกต้องควรอ่านว่า อิฐ LEGO 2x4 สีเดียวกัน 6 ก้อน สามารถสร้างโครงสร้างที่แตกต่างกันได้ 915,103,765 แบบ เมื่อใช้กติกาการนับแบบตารางมุมฉาก ไม่ใช่จำนวนของทุกท่าทางที่อิฐจะวางได้ในพื้นที่สามมิติ

ตัวเลขนี้ไม่ได้พิสูจน์ว่า LEGO เป็นของเล่นที่สร้างสรรค์ที่สุดในโลก เพราะคำว่า “ที่สุด” ต้องมีเกณฑ์เปรียบเทียบ แต่แสดงให้เห็นชัดว่าองค์ประกอบเพียงไม่กี่ชิ้นสามารถเปิดพื้นที่ให้ทดลอง แก้ปัญหา และสร้างรูปทรงใหม่ได้มหาศาล ภายใต้กติกาการต่อที่เรียบง่ายมาก