มุมภายในของสามเหลี่ยมรวมกัน 180 องศา

สามเหลี่ยมทุกชนิดมีมุมภายในรวมกัน 180 องศา

ไม่ว่าจะวาดสามเหลี่ยมให้สูงชะลูด แบนกว้าง เอียงไปด้านใดด้านหนึ่ง หรือมีด้านยาวไม่เท่ากันเลย เมื่อเป็น รูปสามเหลี่ยมบนระนาบแบบเรขาคณิตยุคลิด มุมภายในทั้งสามมุมจะรวมกันได้ 180 องศาเสมอ

ถ้าเรียกมุมทั้งสามว่า A, B และ C จะเขียนความสัมพันธ์ได้ว่า

A + B + C = 180°

รูปร่างเปลี่ยนได้ แต่ผลรวมไม่เปลี่ยน

จุดที่น่าสนใจคือ กฎนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าหน้าตาของสามเหลี่ยมเป็นแบบใด ตัวอย่างเช่น

• สามเหลี่ยมด้านเท่า มีมุม 60° ทั้งสามมุม รวมเป็น 180°

• สามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีสองมุมเท่ากัน แต่เมื่อรวมกับมุมที่เหลือก็ยังได้ 180°

• สามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุมหนึ่ง 90° อีกสองมุมจึงต้องรวมกันเป็น 90°

• สามเหลี่ยมมุมป้าน มีมุมหนึ่งใหญ่กว่า 90° แต่มุมอีกสองมุมจะเล็กลงจนผลรวมทั้งหมดกลับมาอยู่ที่ 180°

นี่ทำให้กฎผลรวมมุมเป็นเครื่องมือพื้นฐานที่ใช้หามุมที่หายไปได้ทันที เช่น สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุม 50° และ 70° มุมสุดท้ายจึงเท่ากับ 180 − 50 − 70 = 60°

ทำไมต้องเป็น 180 องศา

ลองนึกถึงสามเหลี่ยม ABC แล้วลากเส้นตรงผ่านยอด A ให้ขนานกับด้าน BC จากสมบัติของเส้นขนาน มุมที่เกิดบริเวณเส้นตรงด้านบนจะมีขนาดเท่ากับมุม B และมุม C ของสามเหลี่ยม เมื่อวางมุมทั้งสามต่อกันพอดี จะกินพื้นที่เท่ากับ มุมเส้นตรง ซึ่งมีขนาด 180° จึงได้ว่า A + B + C = 180°

ความสำคัญของกฎนี้ไม่ได้อยู่แค่การจำเลข 180 แต่ช่วยตรวจสอบด้วยว่ามุมสามค่าที่กำหนดมานั้นสร้างสามเหลี่ยมได้จริงหรือไม่

ตัวอย่างเช่น 30° + 60° + 90° = 180° จึงสร้างสามเหลี่ยมได้ แต่ถ้ามีคนกำหนดมุมเป็น 80° + 70° + 50° ผลรวมจะเป็น 200° จึงไม่สามารถเป็นมุมภายในของสามเหลี่ยมธรรมดาบนระนาบเดียวกันได้

กฎนี้ยังบอกลักษณะของสามเหลี่ยมได้

เมื่อรู้ว่าผลรวมทั้งหมดมีเพียง 180° จึงเกิดข้อสังเกตหลายอย่างตามมา เช่น สามเหลี่ยมไม่สามารถมีมุมฉากสองมุมได้ เพราะ 90° + 90° ก็ครบ 180° แล้ว ไม่เหลือองศาสำหรับมุมที่สาม เช่นเดียวกัน สามเหลี่ยมไม่สามารถมีมุมป้านสองมุม เพราะแต่ละมุมใหญ่กว่า 90° ผลรวมเพียงสองมุมก็เกิน 180° ไปแล้ว

สามเหลี่ยมจึงมีมุมฉากได้มากที่สุดหนึ่งมุม และมีมุมป้านได้มากที่สุดหนึ่งมุม ถ้าไม่มีทั้งมุมฉากและมุมป้าน มุมทั้งสามจะเล็กกว่า 90° และเรียกว่า สามเหลี่ยมมุมแหลม

จากสามเหลี่ยมไปสู่รูปหลายเหลี่ยม

เลข 180° ยังเป็นพื้นฐานของสูตรผลรวมมุมภายในรูปหลายเหลี่ยม เพราะรูปหลายเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมได้ ตัวอย่างเช่น สี่เหลี่ยมแบ่งเป็นสองสามเหลี่ยม จึงมีมุมภายในรวม 2 × 180° = 360° รูปห้าเหลี่ยมแบ่งเป็นสามสามเหลี่ยม จึงรวมเป็น 540°

สูตรทั่วไปของรูป n เหลี่ยมจึงเป็น (n − 2) × 180° จุดเริ่มต้นของสูตรทั้งหมดก็คือข้อเท็จจริงง่ายๆ ว่า สามเหลี่ยมหนึ่งรูปมีผลรวมมุมภายในเท่ากับ 180°

คำตอบคือ 180 องศา
ไม่ว่าสามเหลี่ยมจะเป็นด้านเท่า หน้าจั่ว มุมฉาก มุมแหลม หรือมุมป้าน ผลรวมมุมภายในทั้งสามยังคงเท่ากับ 180° เสมอ เมื่อพิจารณาบนระนาบเรขาคณิตยุคลิด