ทำไมเงาตอนบ่ายถึงยาวขึ้น แค่สามเหลี่ยมหนึ่งรูปก็อธิบายคณิตศาสตร์รอบตัวได้หมด

แดดต่ำลง เงาก็ยืดออก

เคยสังเกตไหม ช่วงเที่ยงเงาแทบกองอยู่ใต้เท้า แต่พอเดินออกจากบ้านตอนสี่ห้าโมง เงากลับลากยาวไปบนพื้นเหมือนมีใครใช้เครื่องมือยืดมันออก ทั้งที่ตัวคนก็สูงเท่าเดิม พื้นก็ยังอยู่ที่เดิม สิ่งที่เปลี่ยนมีอย่างเดียวคือ มุมที่แสงอาทิตย์ส่องลงมา ภาพนี้อธิบายได้ด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากธรรมดา ลองนึกถึงเสาไฟตั้งตรง เสาคือด้านสูง พื้นจากโคนเสาไปถึงปลายเงาคือด้านยาว ส่วนลำแสงจากยอดเสาไปยังปลายเงาคือด้านเอียง ทุกครั้งที่แสงมากระทบเสา จะเกิดสามเหลี่ยมแบบนี้บนพื้นทันที ตอนดวงอาทิตย์อยู่สูง แสงตกลงมาค่อนข้างชัน เส้นจากยอดศีรษะถึงปลายเงาจึงลงถึงพื้นเร็ว เงาเลยสั้น แต่หลังผ่านช่วงที่ดวงอาทิตย์ขึ้นสูงสุดของวันแล้ว โลกยังหมุนต่อ ทำให้ดวงอาทิตย์ดูเหมือนค่อยๆ เคลื่อนต่ำไปทางขอบฟ้า แสงจึงส่องเฉียงกว่าเดิม กว่าจะลากจากยอดวัตถุลงแตะพื้นได้ ก็ต้องไปไกลขึ้น เงาเลยยาวขึ้นเรื่อยๆ สูตรมีบรรทัดเดียว ความยาวเงา = ความสูงของวัตถุ ÷ tan มุมเงยของดวงอาทิตย์ คำว่า มุมเงย คือมุมระหว่างแนวพื้นราบกับตำแหน่งดวงอาทิตย์ ไม่ต้องกลัวคำว่า tan เพราะแค่ดูตัวเลขตัวอย่างก็เห็นภาพแล้ว สมมติคนสูง 1.70 เมตร ตอนดวงอาทิตย์สูง 45 องศา tan เท่ากับ 1 เงาจึงยาว 1.70 เมตร พอดีกับส่วนสูง พอดวงอาทิตย์ลดเหลือ 30 องศา tan อยู่ที่ประมาณ 0.577 เงาจะยาวราว 2.94 เมตร ถ้าลดเหลือ 15 องศา tan อยู่ที่ประมาณ 0.268 เงาจะพุ่งไปถึงราว 6.34 เมตร และเมื่อเหลือแค่ 10 องศา เงาจะยาวเกือบ 9.64 เมตร ทั้งที่ส่วนสูงยังเท่าเดิมทุกอย่าง ตรงนี้มีจุดน่าสนุกมาก เงาไม่ได้ยาวขึ้นแบบคงที่ เช่น เพิ่มชั่วโมงละหนึ่งเมตร แต่มันยาวขึ้นแบบพุ่งแรงเมื่อดวงอาทิตย์เข้าใกล้ขอบฟ้า เพราะ tan ของมุมเล็กๆ ลดลงเร็วมาก พอเอาความสูงไปหารด้วยจำนวนที่เล็กลง ผลลัพธ์ก็โตขึ้นทันที นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมช่วงบ่ายต้นๆ อาจรู้สึกว่าเงาค่อยๆ ยาว แต่ช่วงใกล้เย็นกลับเหมือนมันยืดเร็วผิดสังเกต ลองเทียบกับไฟฉายก็ได้ วางแก้วน้ำบนโต๊ะแล้วถือไฟฉายไว้สูง เงาจะสั้นและอยู่ใกล้แก้ว จากนั้นค่อยๆ ลดไฟฉายลงจนเกือบระดับโต๊ะ เงาจะวิ่งยาวออกไปอีกฝั่ง หลักเดียวกันเป๊ะ ต่างกันแค่อาทิตย์อยู่ไกลมากจนลำแสงที่มาถึงพื้นโลกเกือบขนานกัน แล้วทำไมใช้คำว่า หลังเที่ยง ไม่ใช่หลังสิบสองนาฬิกาเสมอไป เพราะช่วงที่เงาสั้นที่สุดคือ เที่ยงสุริยะ หรือเวลาที่ดวงอาทิตย์ขึ้นสูงสุดของวัน ณ ตำแหน่งนั้น ซึ่งอาจไม่ตรงกับ 12:00 ตามนาฬิกาเป๊ะ ตำแหน่งตามเส้นแวง เขตเวลา และความคลาดระหว่างเวลาสุริยะกับเวลานาฬิกาล้วนทำให้เลื่อนได้เล็กน้อย ดังนั้นบางวันเงาอาจยังสั้นลงต่อหลังเที่ยงนาฬิกาอีกนิด ก่อนจะเริ่มยาวขึ้นจริง ทิศของเงาก็อ่านง่าย เงาจะชี้ไปด้านตรงข้ามกับดวงอาทิตย์ ตอนเช้าดวงอาทิตย์อยู่ฝั่งตะวันออก เงาจึงทอดไปทางตะวันตก พอช่วงบ่ายดวงอาทิตย์ย้ายไปฝั่งตะวันตก เงาก็ทอดไปทางตะวันออก แต่ทิศจริงจะเอียงเหนือหรือใต้แค่ไหน ขึ้นกับฤดูกาลและตำแหน่งที่ยืนบนโลกด้วย อีกเรื่องที่มักทำให้งงคือ คนเดิม เวลาเดิม แต่คนละเดือน เงาอาจยาวไม่เท่ากัน เพราะแกนโลกเอียง ทำให้เส้นทางของดวงอาทิตย์บนท้องฟ้าเปลี่ยนตามฤดูกาล วันที่ดวงอาทิตย์เดินสูง เงาจะสั้นกว่า วันที่ดวงอาทิตย์เดินต่ำ เงาจะยาวกว่า นี่จึงเป็นเหตุผลที่เงาใช้บอกได้ทั้งเวลาโดยคร่าวๆ และการเปลี่ยนฤดูกาล ทดลองเองได้ในหนึ่งบ่าย หาไม้ตรงสูง 1 เมตร ปักให้ตั้งฉากกับพื้น วัดเงาทุก 30 นาที แล้วจดเวลาไว้ จะเห็นว่าเงาสั้นที่สุดใกล้เที่ยงสุริยะ จากนั้นยาวขึ้นทีละน้อยและเร่งชัดขึ้นตอนเย็น ลองเอาความสูง 1 เมตรหารด้วยความยาวเงา แล้วกด inverse tan ในเครื่องคิดเลข ก็จะได้มุมเงยของดวงอาทิตย์กลับมา เงาตอนบ่ายจึงไม่ได้ถูกยืดด้วยกลไกลับอะไรเลย มันเป็นแค่ผลของแสงเฉียงกับสามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งรูป ยิ่งดวงอาทิตย์ต่ำ ตัวหารยิ่งเล็ก เงายิ่งยาว และพอเข้าใกล้ขอบฟ้า เส้นเงาก็พร้อมลากออกไปไกลจนดูเกินจริง นี่แหละคณิตศาสตร์ที่เดินตามติดทุกก้าวโดยไม่ต้องพกสมุดสูตรสักเล่ม